从两信封悖论谈主观与客观

两信封悖论是一个涉及概率论的有趣的数学谜题。其陈述如下，现有两个信封，分别装入$x$元与$2x$元，但是$x$对我们是未知的；如今我们随机地（同等概率）获得其中的一个信封中的钱，在打开后我们可以选择是否交换为另一个信封。显然如果我们获得了$y$元，另一个信封中的钱为$2y$或是$\frac{1}{2}y$，而且概率皆为$1/2$；那么交换后我们平均（期望）会得到
$$1/2 \cdot (2y) + 1/2 \cdot (\frac{1}{2}y) = \frac{5}{4}y$$
元，这是大于我们当前所拥有的的$y$元的，因此我们会考虑交换信封。但是重新思考一下，两个信封仿佛是完全等同的，我们似乎可以一直交换下去，悖论就由此产生了。

悖论存在的根髓在于公理体系本身的不完备性。比如我们常说的一句话：我在说谎，就是一个典型的悖论。因为它既不能被判定为真话，也不能被视作谎话，而我们对一句话真伪的定义总是非黑即白的。
事实上，哥德尔不完备定理告诉我们，再完美的公理框架，只要包含自然数，总会存在这样的无法辨别真伪的命题（或陈述）。

当然，两信封悖论并不涉及这些，我们之所以得到以上的结论——不停地换信封，是因为我们对概率空间定义的不严格性。换句话说，我们能得到$y$元并不意味着另一个信封就是$2y$或是$y/2$；一旦我们确定手中的信封里有$y$元，即便我们不知道$x$与$y$的关系，另一个信封里面的钱数也已经确定了。我们不知道，但这只不过因为我们的无知（不知道$x$的值），而非其不确定性。因此前述的换信封平均得到$5/4y$的结论是完全没有道理的。

因此，这样的“悖论”完全源自于我们没有厘清定义，或是说我们对概率陈述的滥用，因而，并不能真正意义上被称作悖论。尽管如此，两信封问题对我们有什么启发吗？

这让我想到了如何理解主观与客观。

大家都知道，客观就是独立于意志而存在的，独立于我们的感受而存在的实在本身，但是我们作为人类永远不可能完全感受客观的事物；其实，我们总是在片面地看到客观在某个更小的维度上的投影，如同盲人摸象一样，每次只能感受到客观产生的主观体验。这如何联系到两信封问题呢？

我们假想上帝存在，而且他就代表着客观本身，他负责决定两个信封中的金额（即$x$的值），并且负责以等同的可能给予我们其中一个信封。此时，我们了解整个故事，却不知道$x$的金额以及我们被给予了哪一个信封；而上帝了解一切。我们对所有未知的主观感受只有我们得到的信封的钱数$y$。这个主观认知并不能完全反映客观世界，毕竟$y$可以等于$2x$，也可以等于$x$。但它却将世界锁定在了两种可能之中：$x = y$，我们得到了装有$x$元（钱少的）的信封；$x = y/2$，我们得到了装有$2x$元（钱多的）的信封。

这是因为，仅仅只有这样的两个世界能够创造出如今的境况，即我们打开其中一个信封，得到了$y$元。我们在通过主观认知推测客观世界，面对两个可能，我们究竟如何选择呢？

分别考察这两个世界，我们发现，如果我们交换信封，分别会获得$2x = 2y$元，以及$x = y/2$元。交换信封在前一个世界中会让我们获得$x$元，而在后一个世界中会让我们损失$x$元，但是由于两个世界中$x$的值不同，因此我们整体而言会有偏好。但是同样的问题，这两个世界到底哪一个才是现实，是早已被决定的，在没有任何经验的情况下我们是无法分辨的，因而也完全没有概率的说法。但是如果上帝告诉我们（直接或间接），他习惯让$x$介于$10\sim 100$之间，那么如果我们观察到$y = 80$就会更倾向于选择前一个世界。但这都是后话了。

我们刚刚理解了主客观在两信封问题中的体现，却还没有泛化对主客观的理解，不过倒也可见一斑了。

主观作为我们认知世界的唯一方式，帮助我们筛选所有候选的客观世界。很多时候，这样的世界可能有无穷多个存在，因此认知客观的过程会远比理解两信封问题复杂。自人类文明有记载以来，古人上千年间都被困在认知宇宙环境的困境中，由于主观认知方式的局限性和不准确性，人们无法意识到地球是圆的，无法意识到很多并非所有星体都围绕地球旋转。这并不意味着主观本身是错的，而在于，被困在主观世界的人类无法跳脱出来，思考客观世界的其他存在可能。这就像柏拉图在《理想国》中描述的地穴寓言：永远只在地穴中看背影长大的人是无法想象到真实世界的样子的。

但好在通过改变观测尺度，人类得以用更多不同的视角认识世界，尤其在自然科学领域：远到地质学，宇宙学，生物学的萌芽，近到分子生物学，高能物理，化学的发展。但可惜的是，在人文科学方面，人类的观测尺度却没有如此卓越的进步。换句话说，人们的主观性仍然没有很大程度上跳出自己在科技革命以前的局限，因此对社会，对人与人关系的认知的客观性无法企及自然科学之于对世界的认知的水平。当然，这是两类学科的内在秉性决定的。

自然科学所认知的客观世界往往在一条稳定不变的正轨上发育出一系列复杂的现象或原理，找到这样的正轨就让我们的工作简单了一半。而社会科学以人为基础，由于人思想的不确定性，其客观性的存在本身就值得怀疑，这样连目标都不确定的主观认知可想而知不会带来什么惊喜。